Question

【题目】已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

分类讨论当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，求函数的导数，利用导数和极值之间的关系转化为求极小值大于0即可．

当a＝0时，f（x）＝﹣3x2+1＝0，解得x＝±，函数f（x）有两个零点，不符合题意，舍去；

当a＞0时，令f′（x）＝3ax2﹣6x＝3ax（x﹣）＝0，解得x＝0或x＝＞0，列表如下：

x	（﹣∞，0）	0	（0，）		(，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

∵x→﹣∞，f（x）→﹣∞，而f（0）＝1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）＝0，

不符合f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，舍去．

当a＜0时，f′（x）＝3ax2﹣6x＝3ax（x﹣）＝0，解得x＝0或x＝＜0，列表如下：

x	(﹣∞,）		（，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

而f（0）＝1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）＝0，

∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值f（）＝a（）3﹣3（）2+1＞0，

解得a2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．

综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．

故选：C．