Question

19．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），有以下结论：
①求f（2012）=0；
②函数f（x）的图象关于直线x=2对称；
③若f（x）在[-2，0]上单调递增，则f（x）在[-2，2]上单调递增；
④若f（x）满足在区间[0，2]上是增函数的条件，且f（2）=1，则在x∈R上有f（x）∈[-1，1]．
其中正确的结论是①③④．

Answer 1

分析 对四个选项分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：（1）∵f（x-4）=-f（x），∴f（x-8）=-f（x-4）=f（x），∴函数的周期为8，
∴f（2012）=f（8×251+4）=f（4）=-f（0）=0，正确；
②定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），则f（x-4）=f（-x），∴f（x-2）=f（-x-2），∴函数f（x）关于直线x=-2对称，不正确；
③若f（x）在[-2，0]上单调递增，函数f（x）是奇函数，则f（x）在[-2，2]上单调递增，正确；
④若f（x）满足在区间[0，2]上是增函数的条件，且f（2）=1，则在x∈[-2，2]上有f（x）∈[-1，1]，∵函数的周期为8，∴在x∈R上有f（x）∈[-1，1]，正确．
故答案为：①③④．

点评 本题考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．