Question

（08年潍坊市八模） 在棱长为a的正方体中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF．

　　（1）求证：；

　　（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的大小（结果用反三角函数表示）．

Answer 1

解析:（1）证明：如图，以O为原点建立空间直角坐标系．

　　设AE＝BF＝x，则（a，0，a），F（a-x，a，0），（0，a，a），E（a，x，0），

　　∴　（-x，a，-a），

　　（a，x-a，-a）．

　　∵　，

　　∴　．

 

　　（2）解：记BF＝x，BE＝y，则x＋y＝a，则三棱锥的体积为

　　．

　　当且仅当时，等号成立，因此，三棱锥的体积取得最大值时，．

　　过B作BD⊥BF交EF于D，连结，则．

　　∴　∠是二面角的平面角．在Rt△BEF中，直角边，BD是斜边上的高，　　

  ∴　

　　在Rt△中，tan∠．故二面角的大小为．