Question

设直线l(斜率存在)交抛物线y²＝2px(p＞0，且p是常数)于两个不同点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，O为坐标原点，且满足·＝x₁x₂＋2(y₁＋y₂)．

(1)求证：直线l过定点；

(2)设(1)中的定点为P，若点M在射线PA上，满足，求点M的轨迹方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)设直线的方程为 　　由　2分 　　由题知 　　且　3分 　　又　4分 　　∴直线的斜率k与p之间的关系为　4分 　　由(Ⅰ)有　5分 　　又　7分 　　则 　　∴直线的方程为 　　∴直线过定点(0，2)　8分 　　(Ⅱ)分别过A、M、B向y轴作垂线，垂足分别为 　　设，可得 　　 　　　10分 　　即 　　　①　12分 　　将①代入 　　又　② 　　由①②消去k，得 　　∴点M的轨迹方程为　14分