Question

已知函数f(x)，当x、y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．

(1)求证：f(x)＋f(－x)＝0；

(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(24)；

(3)如果x∈R时，f(x)＜0，且f(1)＝，试求f(x)在区间[－2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：令x＝y＝0得f(0)＝0，再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)， 　　∴f(－x)＋f(x)＝0． 　　(2)解：由f(－3)＝a得f(3)＝－a， 　　∴f(24)＝f(3＋3＋…＋3)＝8f(3)＝－8a． 　　(3)解：设x1＜x2，则f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)＋f(x2－x1)． 　　又∵x2－x1＞0， 　　∴f(x2－x1)＜0． 　　∴f(x1)＋f(x2－x1)＜f(x1)． 　　∴f(x2)＜f(x1)． 　　∴f(x)在R上是减函数． 　　∴f(x)max＝f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1， 　　f(x)min＝f(6)＝6f(1)＝6×()＝－3．