Question

已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．

(1)求证：f(x)是奇函数；

(2)如果x>0时，f(x)<0，并且f(1)＝－，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值．

Answer 1

解：(1)证明∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称．

∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x，

∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．

令x＝y＝0，∴f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0.

∴f(x)＋f(－x)＝0，得f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)为奇函数．

(2)设x₁<x₂，且x₁，x₂∈R.

则f(x₂－x₁)＝f(x₂＋(－x₁))＝f(x₂)＋f(－x₁)＝f(x₂)－f(x₁)．

∵x₂－x₁>0，∴f(x₂－x₁)<0.∴f(x₂)－f(x₁)<0.即f(x)在R上单调递减．

∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．

∵f(1)＝－，

∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，

f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.

∴f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.