Question

【题目】已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若时，关于的方程有唯一解，求的值；

（3）当时，证明: 对一切，都有成立．

Answer 1

【答案】（1）当是奇数时，在上是增函数，当是偶数时，在上是减函数，在上是增函数；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）首先利用导数公式求出,然后讨论是奇数还是偶数，化简函数，然后再定义域内求导数大于或是导数小于的解集，确定单调区间；（2）将唯一解问题转化为在定义域内和轴有唯一交点问题，求在定义域内，导数为的值有一个，分析函数是先减后增，所以如果有一个交点，那么函数在定义域内的极小值等于，即可；（3）转化为左边函数的最小值大于有边函数的最大值，要对两边函数求导，利用导数求函数的最值.

试题解析：解：（1）由已知得且．

当是奇数时，，则在上是增函数;

当是偶数时，则．

所以当时，，当时，．

故当是偶数时，在上是减函数，在上是增函数． 4分

（2）若，则．

记 ,

若方程有唯一解，即有唯一解； 令,得．因为，所以（舍去），． 当时，，在是单调递减函数；

当时，，在上是单调递增函数．

当时, ，． 因为有唯一解，所以．

则 即 设函数，

因为在时，是增函数，所以至多有一解．

因为，所以方程的解为，从而解得 10分

（3）当时， 问题等价证明

由导数可求的最小值是，当且仅当时取到，

设，则，

易得，当且仅当 时取到，

从而对一切，都有成立．故命题成立． 16分