Question

（12分）已知椭圆C：的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以为半径的圆相切．

（1）求椭圆的方程．

（2）若过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交y轴于点，且求证：为定值

Answer 1

（1），（2）

【解析】

试题分析：（1）由题意圆的方程可设为，利用圆心到直线的距离为再由焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形即b=c即可解决；（2）与圆锥曲线相关的最值、范围问题综合性较强，解决的思路有两种：一是由题目中的限制条件求范围，如直线与圆锥曲线的位置关系中Δ的范围，方程中变量的范围，角度的大小等；二是将要讨论的几何量如长度、面积、代数式等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用不等式、三角函数等知识求最值，在解题过程中注意向量，不等式的应用

试题解析：（1）由题意：以椭圆C的右焦点为圆心，以为半径的圆的方程为,

∴圆心到直线的距离 ①

∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， b=c,代入①式得b=1

∴ 故所求椭圆方程为 4分

（2）由题意：直线的斜率存在，所以设直线方程为,则

将直线方程代入椭圆方程得： 6分

设，则 ① 8分

由∴

即： 10分

==-4 ∴ 12分

考点：椭圆及其综合应用