Question

设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞b＞0)的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为

3

4

c，则双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

分析：先求出直线l的方程，利用原点到直线l的距离为

3

4

c，及又c²=a²+b²，求出离心率的平方e²，进而求出离心率．

解答：解：∵直线l过（a，0），（0，b）两点，∴直线l的方程为：

x

a

+

y

b

=1，即 bx+ay-ab=0，
∵原点到直线l的距离为

3

4

c，∴

|ab|

a2+b2

=

3 c

4

．
又c²=a²+b²，∴3e⁴-16e²+16=0，∴e²=4，或 e²=

4

3

．
∵a＞b＞0，∴c²=a²+b²＜2a²，∴e=

c

a

＜

2

，故离心率为 e=

2

3

3

；
故答案为

2

3

3

．

点评：本题主要考查双曲线的标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．