Question

已知平面上一定点C（2，O）和直线l：x=8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且．
（1）问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；
（2）若EF为圆N：x²+（y-1）²=1的任一条直径，求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据平面向量数量积的运算性质，得4²=²．设P（x，y），则Q（8，y），运用距离公式化简可得3x²+4y²=48，整理得+=1，由此可得点P的轨迹是以（±2，0）为焦点的椭圆；
（2）根据题意，得|NE|=|NF|=1且=-，由此化简得=-1，根据椭圆方程与两点的距离公式，求出当P的纵坐标为-3时的最大值为20，由此即得=-1的最大值为19．
解答：解：（1）设P的坐标为P（x，y），则Q（8，y）
∵，得：4²=²
∴4[（x-2）²+y²]=[（x-8）²+（y-y）²]，化简得3x²+4y²=48，
∴点P的轨迹方程为+=1，此曲线是以（±2，0）为焦点的椭圆；
（2）∵EF为圆N的直径，∴|NE|=|NF|=1，且=-
∴=（）•（）=（）•（）=-1
∵点P为椭圆+=1上的点，满足x²=16-
∵N（1，0），∴=x²+（y-1）²=-（y+3）²+20
∵椭圆+=1上点P纵坐标满足 y∈[-2，2]
∴当y=-3时，的最大值为20，故=-1的最大值等于19．
点评：本题给出动点P的轨迹，求其方程并研究向量数量积的最大值，着重考查了向量的数量积、椭圆的标准方程与简单性质和直线与圆等知识，属于中档题．