题目内容
（2012•眉山二模）已知平面上一定点C（-1，0）和一定直线l：x=-4．P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，(
+2
)(
-2
)=0．
（1）问点P在什么曲线上，并求出该曲线方程；
（2）点O是坐标原点，A、B两点在点P的轨迹上，若
+λ
=(1+λ)
，求λ的取值范围．
| PQ |
| PC |
| PQ |
| PC |
（1）问点P在什么曲线上，并求出该曲线方程；
（2）点O是坐标原点，A、B两点在点P的轨迹上，若
| OA |
| OB |
| OC |
分析：（1）直接根据，(
+2
)(
-2
)=0，设出点P的坐标整理即可得到点P在什么曲线上，并求出该曲线方程；
（2）直接设A、B两点的坐标，根据
+λ
=(1+λ)
，得到A、B、C三点共线．且λ＞0；再把A的坐标用B的坐标表示出来；结合A、B两点在点P的轨迹上以及椭圆上的点的范围限制即可求出λ的取值范围．
| PQ |
| PC |
| PQ |
| PC |
（2）直接设A、B两点的坐标，根据
| OA |
| OB |
| OC |
解答：解：（1）由(
+2
)•(
-2
)=0，得：
2-4
2=0，…（2分）
设P（x，y），则（x+4）2-4[（x+1）2+y2]=0，化简得：
+
=1，…（4分）
点P在椭圆上，其方程为
+
=1．…（6分）
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），
由
+λ
=(1+λ)
得：
+λ
=
，
所以，A、B、C三点共线．且λ＞0，
得：（x1+1，y1）+λ（x2+1，y2）=0，即：
…（8分）
因为
+
=1，所以
+
=1①…（9分）
又因为
+
=1，所以
+
=λ2②…（10分）
由①-②得：
=1-λ2，化简得：x2=
，…（12分）
因为-2≤x2≤2，所以-2≤
≤2．
解得：
≤λ≤3所以λ的取值范围为[
，3]．…（14分）
| PQ |
| PC |
| PQ |
| PC |
| PQ |
| PC |
设P（x，y），则（x+4）2-4[（x+1）2+y2]=0，化简得：
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
点P在椭圆上，其方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），
由
| OA |
| OB |
| OC |
| CA |
| CB |
| 0 |
所以，A、B、C三点共线．且λ＞0，
得：（x1+1，y1）+λ（x2+1，y2）=0，即：
|
因为
| x12 |
| 4 |
| y12 |
| 3 |
| (-1-λ-λx2)2 |
| 4 |
| (-λy2)2 |
| 3 |
又因为
| x22 |
| 4 |
| y22 |
| 3 |
| (λx2)2 |
| 4 |
| (λy2)2 |
| 3 |
由①-②得：
| 2λ(λ+1)x2+(λ+1)2 |
| 4 |
| 3-5λ |
| 2λ |
因为-2≤x2≤2，所以-2≤
| 3-5λ |
| 2λ |
解得：
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线以及平面向量的综合问题．解决第二问的关键在于由
+λ
=(1+λ)
，得到A、B、C三点共线．且λ＞0．
| OA |
| OB |
| OC |
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