Question

已知双曲线C：+=1（a＞0，b＞0），B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足||、||、||成等比数列，过F作双曲线C在第一、第三象限的渐近线的垂线l，垂足为P．
（1）求证：•=•；
（2）若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D、E，求双曲线C的离心率e的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意可表示出l的方程，与渐近线方程联立求得交点P的坐标，根据、、成等比数列，求得A的坐标，进而表示出，和，进而求得和进而可知．
（2）把直线l的方程与双曲线方程联立，进而根据韦达定理表示出x₁•x₂根据其小于0，求得a和c的不等式关系求得e的范围．
解答：解：（1）l：，
解得，．
∵、、成等比数列，
∴∴=，，，，
∴，．
∴
（2），
∴．
即，
∵，
∴b⁴＞a⁴，即b²＞a²，c²-a²＞a²．∴e²＞2，即．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和对圆锥曲线基础知识的灵活运用．