Question

（2012•贵州模拟）数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，S_n+1=3S_n+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）求{S_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n+1=3S_n+2，利用迭代法得a_n+1=3a_n，故{a_n}是以3为公比，2为首项的等比数列，由此能够求出a_n．
（Ⅱ）由an=2×3n-1，得Sn=

2(3n-1)

3-1

=3ⁿ-1，由此能求出{S_n}的前n项和为T_n．

解答：解：（Ⅰ）由S_n+1=3S_n+2
当n＞1得S_n=3S_n-1+2
上两式相减得a_n+1=3a_n…（3分）
∵a₁=2，
∴{a_n}是以3为公比，2为首项的等比数列，
∴an=2×3n-1，当n=1时，上式也成立，
∴an=2×3n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，an=2×3n-1，
故Sn=

2(3n-1)

3-1

=3ⁿ-1，
故T_n=S₁+S₂+…+S_n
=

3(3n-1)

3-1

-n
=

3n+1

2

-n-

3

2

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意迭代法、分组求和法的合理运用．