Question

（2012•贵州模拟）已知函数f(x)=

a+blnx

x+1

在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2．
（I）求a，b的值；
（II）对函数f（x）定义域内的任一个实数x，f(x)＜

m

x

恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求导函数，利用函数在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2，建立方程组，即可求a，b的值；
（II）对函数f（x）定义域内的任一个实数x，f(x)＜

m

x

恒成立，等价于

2x-xlnx

x+1

＜m恒成立，求出函数的最值，即可求实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

a+blnx

x+1

，∴f′(x)=

b x (x+1)-(a+blnx)

(x+1)2

∵点（1，f（1））在直线x+y=2上，∴f（1）=1，
∵直线x+y=2的斜率为-1，∴f′（1）=-1
∴有

a 2 =1 2b-a 4 =-1

，∴

a=2 b=-1

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=

2-lnx

x+1

(x＞0)
由f(x)＜

m

x

及x＞0，可得

2x-xlnx

x+1

＜m
令g(x)=

2x-xlnx

x+1

，∴g(x)=

(1-lnx)(x+1)-(2x-xlnx)

(x+1)2

=

1-x-lnx

(x+1)2

令h（x）=1-x-lnx，∴h′(x)=-1-

1

x

＜0(x＞0)，故h（x）在区间（0，+∞）上是减函数，
故当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，当x＞1时，h（x）＜h（1）=0
从而当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0
∴g（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，故g（x）_max=g（1）=1
要使

2x-xlnx

x+1

＜m成立，只需m＞1
故m的取值范围是（1，+∞）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．