Question

F是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一个焦点，过F作直线l与一条渐近线平行，直线l与双曲线交于点M，与y轴交于点N，若

FM

=

1

2

MN

，则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、

  5

• D、

  10

Answer 1

分析：如图所示，过F作直线l与一条渐近线平行，可得直线l的方程为y=

b

a

(x-c)，与双曲线方程联立解得点M的坐标，再利用

FM

=

1

2

MN

，即可得出．

解答：解：如图所示，
∵过F作直线l与一条渐近线平行，
∴直线l的方程为y=

b

a

(x-c)，
联立

y= b a (x-c) x2 a2 - y2 b2 =1

，化为x=

a2+c2

2c

，．
∵

FM

=

1

2

MN

，
∴

a2+c2

2c

-c=-

1

2

a2+c2

2c

，
化为c²=3a²，
解得e=

c

a

=

3

．
故选：B．

点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、向量相等等基础知识与基本技能方法，属于中档题．