Question

已知点F是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：利用双曲线的对称性及锐角三角形∠AEF＜45°得到AF＜EF，求出A的坐标；求出AF，EF得到关于a，b，c的不等式，求出离心率的范围．

解答：解：∵△ABE是锐角三角形
∴∠AEB为锐角
∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴
∴∠AEF=∠BEF＜45°
∴AF＜EF
∵F为左焦点，设其坐标为（-c，0）
所以A（-c，

b2

a

）
所以AF=

b2

a

，EF=a+c
∴

b2

a

＜a+c即c²-ac-2a²＜0
解得-1＜

c

a

＜2
双曲线的离心率的范围是（1，2）
故答案为（1，2）

点评：本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：c²=a²+b²、考查双曲线的离心率问题就是研究三参数a，b，c的关系．