Question

F是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一个焦点，过F且与一条渐近线平行的直线l与双曲线交于点M，与另外一条渐近线交于点N，若

FM

=

1

2

MN

，则双曲线离心率为

6

2

．

Answer 1

分析：设F（c，0），双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的渐近线l₁：y=

b

a

x，l2：y=-

b

a

x，过F（c，0）且平行于l₁的直线l：y=

b

a

(x-c)，分别求出M点横坐标和N点横坐标，由

FM

=

1

2

MN

，能求出双曲线离心率．

解答：解：设F（c，0），双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的渐近线l₁：y=

b

a

x，l2：y=-

b

a

x，
过F（c，0）且平行于l₁的直线l：y=

b

a

(x-c)，
联立

y= b a (x-c) x2 a2 - y2 b2 =1

，得M点横坐标xm=

a2+c2

2c

，
联立

y= b a (x-c) y=- b a x

，得N点横坐标x_n=

c

2

，
∵

FM

=

1

2

MN

，
∴

a2+c2 2c - c 2

c- c 2

=

2

3

，整理，得

c2

a2

=

3

2

，
∴e=

3 2

=

6

2

．
故答案为：

6

2

．

点评：本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要认真审题，细心计算，注意等价转化思想的合理运用．