Question

已知函数
（1）求函数的最大值；
（2）若，求的取值范围.
（3）证明：  +（n）

Answer 1

（1）0；（2）；（3）详见解析.

试题分析：（1）先求，再利用判断函数的单调性并求最值；
（2）思路一：由，分，，三种情况研究函数的单调性，判断与的关系，确定的取值范围.
思路二：由，因为，所以
令，，显然，知为单调递减函数，
结合在上恒成立，可知在恒成立，转化为，从而求得的取值范围.
（3）在中令，得时，．将代入上述不等式，再将得到的个不等式相加可得结论.
解证：（1），                       1分
当时，；当时，；当时，；
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；       3分
故.                    4分
（2）解法一：，          5分
当时，因为时，所以时，；         6分
当时，令，．
当时，，单调递减，且，
故在内存在唯一的零点，使得对于有，
也即．所以，当时；      8分
当时，时，所以，当时    9分
综上，知的取值范围是.                10分
解法二：，             5分
令，．
当时，，所以单调递减.           6分
若在内存在使的区间，
则在上是增函数，，与已知不符.    8分
故，，此时在上是减函数，成立．
由，恒成立，而，
则需的最大值，即，，
所以的取值范围是.                         10分
（3）在（2）中令，得时，.     11分
将代入上述不等式，再将得到的个不等式相加，得.             14分