Question

如图所示，P是抛物线C：y=x²上一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q，当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ的中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离．

Answer 1

【答案】分析：设出P的坐标，过点P的切线斜率k=x，求出直线l的方程，设出Q、M坐标，利用中点坐标公式，求出m的轨迹方程，再用基本不等式求出点M到x轴的最短距离．
解答：解：设P（x，y），则y=，
∴过点P的切线斜率k=x，
当x=0时不合题意，∴x≠0．
∴直线l的斜率k_l=-，
∴直线l的方程为y-．
此式与y=联立消去y得
x²+
设Q（x₁，y₁），M（x，y）．
∵M是PQ的中点，
∴
消去x，得y=x²++1（x≠0）就是所求的轨迹方程．
由x≠0知x²＞0，
∴y=x²++1≥2
上式等号仅当x²=，即x=±时成立，
所以点M到x轴的最短距离是+1．
点评：本题考查直线的斜率，轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合问题，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题．