Question

如图所示，P是抛物线C：上一点，直线过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，与抛物线C相交于另一点Q．

(1)当点P的横坐标为2时，求直线的方程；

(2)当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ中点M的轨迹方程，并求点M到轴的最短距离．

Answer 1

解：(1)把代入，得．∴点P坐标为(2，2)．

       由    ①

       得，∴过点P的切线的斜率，直线的斜率，

∴直线的方程为，即

(2)设P()，则．

∵过点P的切线斜率，当时不合题意，∴，

∴直线的斜率，

即直线的方程为   ②

联立式①②消去y，得．

设Q()，M()．

∵M是PQ的中点，

     ∴

消去，得就是所求的轨迹方程．

由知，∴

上式取等号仅当，即时成立，

所以点M到轴的最短距离是．