Question

20．设S=1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{100}}$，则S的整数部分是（　　）

• A． 17
• B． 18
• C． 19
• D． 20

Answer 1

分析 利用$\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}$＜$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=2$（\sqrt{n}-\sqrt{n-1}）$，$\frac{1}{\sqrt{n}}$＞$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=2$（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：∵$\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}$＜$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=2$（\sqrt{n}-\sqrt{n-1}）$，$\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}$＞$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=2$（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）$，
∴S＜1+2$（\sqrt{100}-1）$=19；S＞1+2$（\sqrt{101}-\sqrt{2}）$≈18.27．
∴S的整数部分是18．
故选：B．

点评 本题考查了有理化因式、根式的运算性质、“裂项求和”、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．