Question

12．若二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁²+x₂²=$\frac{26}{9}$，试问该二次函数的图象由f（x）=-3（x-1）²的图象向上平移几个单位得到？

Answer 1

分析 根据函数的性质得出x₁+x₂=$-\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，x₁²+x₂²=$\frac{26}{9}$，即（-$\frac{b}{a}$）²$-2（\frac{c}{a}）$=$\frac{26}{9}$．①，利用f（x）=-3（x-1）²的形式判断a=-3，$-\frac{b}{2a}$=1，b=6，代入求解即可得出c=$-\frac{5}{3}$．化为二次函数的顶点式即可判断平移的单位．

解答 解：∵二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点A（x₁，0），B（x₂，0），
∴x₁+x₂=$-\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，x₁²+x₂²=$\frac{26}{9}$，
即（-$\frac{b}{a}$）²$-2（\frac{c}{a}）$=$\frac{26}{9}$．①
∵由f（x）=-3（x-1）²的图象向上平移得到的．
∴a=-3，$-\frac{b}{2a}$=1，b=6，
代入①得出：c=$-\frac{5}{3}$．
∴二次函数f（x）=ax²+bx+c，即可得出f（x）=-3x²+6x$-\frac{5}{3}$=-3（x-1）²+$\frac{4}{3}$，
判断该二次函数的图象由f（x）=-3（x-1）²的图象向上平移$\frac{4}{3}$个单位得到的．

点评 本题考察了二次函数的性质，方程的根与系数的关系，函数的形式的变换，整体运运用的能力，属于中档题．