Question

12．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}ln（x+1），x＞0\\-{x^2}+2x，x≤0\end{array}$，
（1）用定义法或者导数法判断f（x）的单调性；
（2）求不等式f（2x-1）＞f（2-x）的解集．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据导函数的符号求出函数的单调性即可；（2）根据函数的单调性得到关于x的不等式，解出即可．

解答 解：（1）x＞0时，f（x）=ln（x+1），f′（x）=$\frac{1}{x+1}$＞0，是增函数，
x≤0时，f（x）=-x²+2x，f′（x）=-2x+2=2（1-x）＞0，是增函数，
故f（x）在R递增；
（2）由（1）f（x）在R递增，
故f（2x-1）＞f（2-x），
即2x-1＞2-x，解得：x＞$\frac{1}{3}$，
故不等式的解集是（$\frac{1}{3}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及解不等式问题，是一道基础题．