Question

22. 如图，已知梯形ABCD中｜AB｜＝2｜CD｜，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点.求双曲线的离心率.

Answer 1

22.本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质、推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力.

解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐 标系xOy，则CD⊥y轴.因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称.  

依题意，记A（－c，0），C（，h），B（c，0），其中c为双曲线的半焦距，c＝｜AB｜，h是梯形的高.

由定比分点坐标公式，得点E的坐标为

 

x_E＝＝－c，

 

y_E＝＝h.                                  

设双曲线的方程为－＝1，则离心率e＝.

由点C、E在双曲线上，得

                              

由①得＝·－1，代入②得＝9.

所以，离心率e＝＝3.