Question

13．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，且|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，则函数f（x）的单调递增区间是[-$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{5π}{12}$+kπ]，（k∈Z）．

Answer 1

分析 首先，根据函数图象，确定所给函数的解析式f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．然后，结合正弦函数的单调性求解其单调增区间即可．

解答 解：根据图象，得
$\frac{T}{4}=\frac{2π}{3}-\frac{5π}{12}=\frac{π}{4}$，
∴T=π，
∴$\frac{2π}{ω}=π$，
∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ），
将点（$\frac{5π}{12}$，2）代入，得
2=2sin（$\frac{5π}{6}$+φ），
∴sin（$\frac{5π}{6}$+φ）=1，
∴$\frac{5π}{6}+$φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，
∴φ=-$\frac{π}{3}$+2kπ，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
令-$\frac{π}{2}+2kπ$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{12}$+kπ，
∴函数f（x）的单调递增区间是[-$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{5π}{12}$+kπ]，（k∈Z）．
故答案为：[-$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{5π}{12}$+kπ]，（k∈Z）．

点评 本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角函数的周期性、单调性和不等式的基本性质等知识，考查比较综合，属于中档题．