Question

3．已知函数f（x-1）=x-1+$\sqrt{3-2x}$
（1）求函数y=f（x）的解析式．
（2）求y=f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）换元，令x-1=t，从而求出函数的解析式；
（2）换元，令$\sqrt{1-2x}$，t≥0，解出x，从而得到y=-$\frac{1}{2}$t²+t+$\frac{1}{2}$，根据t≥0即可求出y的范围，即求出原函数的值域．

解答 解：（1）令x-1=t，则x=t+1，
∴f（t）=t+$\sqrt{3-2（t+1）}$=t+$\sqrt{1-2t}$（t≤$\frac{1}{2}$），
∴f（x）=x+$\sqrt{1-2x}$，（x≤$\frac{1}{2}$），
（2）∵f（x）=x+$\sqrt{1-2x}$，（x≤$\frac{1}{2}$），
令$\sqrt{1-2x}$=m，（m≥0），则x=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$m²，
∴f（m）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$m²+m=-$\frac{1}{2}$（t-1）²+1，（m≥0），
∴函数f（m）在[0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴f（m）_最大值=f（1）=1，无最小值，
∴函数的值域是（-∞，1]．

点评 考查函数的解析式、值域的概念，换元法求函数的值域，注意换元后的新变量的范围，配方求二次函数值域的方法．