Question

2．设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin²A一sin²B=sinC（sinC一sinB）．
（1）求角A的值．
（2）若b+c=1，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理结合余弦定理进行求解即可求角A的值．
（2）根据余弦定理结合基本不等式 进行求解即可．

解答 解：（1）在△ABC中，∵sin²A一sin²B=sinC（sinC一sinB）．
∴a²-b²=c（c-b）=c²-bc．
即b²+c²-a²=bc，
则cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}=\frac{1}{2}$，
则A=60°．
（2）由余弦定理可得a²=b²+c²-2bc•cosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=1-3bc．
∵b+c=1≥2$\sqrt{bc}$，∴bc≤$\frac{1}{4}$．当且仅当b=c取等号，
∴a²=1-3bc≥$\frac{1}{4}$，即a≥$\frac{1}{2}$．
再由a＜b+c=1，可得$\frac{1}{2}$≤a＜1，故边a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理和余弦定理以及基本不等式是解决本题的关键．