题目内容

已知向量 $数学公式$ =（2cos $数学公式$ ，1）， $数学公式$ =（cos $数学公式$ ，3cosx），
（1）当 $数学公式$ ⊥ $数学公式$ 时，求cos²x-sin2x的值；
（2）设函数f（x）=（ $数学公式$ - $数学公式$ ）• $数学公式$ ，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且f（A）=4，a= $数学公式$ ，求△ABC的面积S的最大值．

解：（1）由题意，可得2cos $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ +3cosx=0
∴-sinx+3cosx=0，∴tanx=3
∴cos²x-sin2x= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ；
（2）f（x）=（2cos $\text{[math]}$ +sin $\text{[math]}$ ，1-3cosx）•（2cos $\text{[math]}$ ，1）=sinx-cosx+3= $\text{[math]}$ sin（x- $\text{[math]}$ ）+3
∵f（A）=4，∴ $\text{[math]}$ sin（A- $\text{[math]}$ ）+3=4，∴sin（A- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
∵A∈（0，π），∴A- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴A= $\text{[math]}$
∵a= $\text{[math]}$ ，∴b²+c²=10
∴△ABC的面积S= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ （b²+c²）= $\text{[math]}$ ，当且仅当b=c= $\text{[math]}$ 时等号成立
∴△ABC的面积S的最大值为 $\text{[math]}$
分析：（1）利用向量的数量积公式计算，可得tanx=3，再将弦化切，即可求得结论；
（2）先确定并化简函数解析式，利用f（A）=4，求出A，根据a= $\text{[math]}$ ，可得b²+c²=10，利用基本不等式，可得△ABC的面积S的最大值．
点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．