Question

【题目】已知函数

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若方程在区间(0,+)上有实数解，求实数a的取值范围；

（3）若存在实数，且，使得，求证：．

Answer 1

【答案】（1）函数的单调减区间为和，单调增区间为．（2）（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）时，,分段求出导函数，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）设，则，所以在区间上有解，等价于在区间上有解，设，对利用导数研究函数的单调性，结合函数图象及零点存在定理，即可得到符合题意的的取值范围即可；（3）先排除的情况，到，利用导数研究函数的单调性，分别求出最大值与最小值，问题转化为解得，所以.

试题解析：（1）当时，

当时，，则，

令，解得或（舍），所以时，，

所以函数在区间上为减函数.

当时，，，

令，解得，当时，，当时，，

所以函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，

且.

综上，函数的单调减区间为和，单调增区间为．

（2）设，则，所以，

由题意，在区间上有解，

等价于在区间上有解.

记，

则，

令，因为，所以，故解得，

当时，，当时，，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

故函数在处取得最小值.

要使方程在区间上有解，当且仅当，

综上，满足题意的实数a的取值范围为.

（3）由题意，，

当时，，此时函数在上单调递增，

由，可得，与条件矛盾，所以.

令，解得，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增.

若存在，，则介于m，n之间，

不妨设，

因为在上单调递减，在上单调递增，且，

所以当时，，

由，，可得，故，

又在上单调递减，且，所以．

所以，同理．

即解得，

所以.