题目内容
【题目】擎天柱为了防止魔方落入霸天虎手中，打算用激光刀将其销毁.擎天柱使用的方法是：每次切割可将魔方分成两个体积之比为
的六面体，每个六面体恰包含魔方的一个面，且任两次操作得到的截面在魔方中均有交点，而魔方的属性决定每次切割只能暂时将它割开，而无法分离，且只要它有
的小正方体区域始终未被割到，就无法被销毁，证明：无论擎天柱切割多少次，均无法销毁魔方.
【答案】见解析
【解析】
显然，每次切割得到的截面均为平行四边形，关于其中心
对称.
由操作规则，知点在魔方一组对面的中心连线段上，且将该线段分成
的两段.
上述为定点，且有6个，分别记为
、
，其中，、
关于魔方中心
对称，满足操作要求的截面必过一个点
.
注意到，过、的平面将魔方分成体积相等的两部分.分别过，、的截面在直线，
上的投影长度均不超过
，且均不包含点（即每个截面均在魔方的一半中）.
从而，两截面在魔方内部不相交.
从而，所有满足操作要求的截面恰经过
中的三个点
、
、
，之一.
将上述截面分成三组，每组过一个点.则每组截面均在魔方的一半中，即魔方中有
的正方体区域未与上述任意一个截面相交，从而，无法销毁魔方.
【题目】某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4S店进行连续30天的试销.定价为1000元/件.试销结束后统计得到该4S店这30天内的日销售量（单位：件）的数据如下表：
日销售量 | 40 | 60 | 80 | 100 |
频数 | 9 | 12 | 6 | 3 |
（1）若该4S店试销期间每个零件的进价为650元/件，求试销连续30天中该零件日销售总利润不低于24500元的频率；
（2）试销结束后，这款零件正式上市，每个定价仍为1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有60件，批发价为550元/件；小箱每箱有45件，批发价为600元/件.该4S店决定每天批发两箱，根据公司规定，当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S店.假设该4店试销后的连续30天的日销售量（单位：件）的数据如下表：
日销售量 | 50 | 70 | 90 | 110 |
频数 | 5 | 15 | 8 | 2 |
（ⅰ）设该4S店试销结束后连续30天每天批发两大箱，这30天这款零件的总利润；
（ⅱ）以总利润作为决策依据，该4S店试销结束后连续30天每天应该批发两大箱还是两小箱？
【题目】2020年寒假是特殊的寒假，因为抗击疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11∶13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意.
（1）完成
列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；
满意 | 不满意 | 总计 | |
男生 | 30 | ||
女生 | 15 | ||
合计 | 120 |
（2）从被调查的对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的个数为
，求出的分布列及期望值.
参考公式：附：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 0.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10828 |
