题目内容
【题目】等腰直角△
内接于抛物线
(
)，其中
为抛物线的顶点，
，△的面积是16.
（1）求抛物线
的方程；
（2）抛物线的焦点为
，过的直线交抛物线于
两点，交
轴于点
，若
，
，证明：
是一个定值.
【答案】（1）
；（2）证明见解析.
【解析】
（1）设点
，
，由抛物线方程、两点之间距离公式可得
，结合面积即可得点A坐标，代入即可得解；
（2）设直线
，点
，
，由平面向量的知识可得
，联立方程组，结合韦达定理即可得证.
（1）设点，，则
，
，
因为△
为等腰直角三角形，
，所以
，
所以
，化简得
，
由
，
，
可得
，
所以
即，所以点A、点B关于x轴对称，
又△的面积是16，所以
，
不妨设点
，所以
，解得
，
所以抛物线
的方程为；
（2）证明：由题意可知点
，直线
的斜率存在且不为0，
设直线，点，，
所以点
，
，
，
，
，
因为
，
，
所以
，
，
所以
，
由
消去x可得
，
，
所以
，
，
所以
，
所以
是一个定值, 且
.
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【题目】某工厂生产某种型号的农机具零配件，为了预测今年7月份该型号农机具零配件的市场需求量，以合理安排生产，工厂对本年度1月份至6月份该型号农机具零配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价
（单位：元）和销售量
（单位：千件）之间的6组数据如下表所示：
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
销售单价 | 11.1 | 9.1 | 9.4 | 10.2 | 8.8 | 11.4 |
销售量 | 2.5 | 3.1 | 3 | 2.8 | 3.2 | 2.4 |
（1）根据1至6月份的数据，求关于的线性回归方程（系数精确到0.01）；
（2）结合（1）中的线性回归方程，假设该型号农机具零配件的生产成本为每件3元，那么工厂如何制定7月份的销售单价，才能使该月利润达到最大？（计算结果精确到0.1）
参考公式：回归直线方程
，
参考数据：
，
