Question

10．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$，则b_n=2n-1．

Answer 1

分析 对a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$取倒数可知数列{b_n}是首项为1、公差为2的等差数列，进而计算可得结论．

解答 解：依题意，a_n＞0，
∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$=2+$\frac{1}{{a}_{n}}$，即b_n+1=2+b_n，
又∵b₁=$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴数列{b_n}是首项为1、公差为2的等差数列，
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1，
故答案为：2n-1．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．