Question

【题目】若四位数的各位数码中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称n为“四位三角形数”.试求所有四位三角形数的个数.

Answer 1

【答案】1681

【解析】

称（）为n的数码组,则

1.当数码组只含一个值，即 时，共得9个n值.

2.当数码组恰含两个值

i.数码组为型，则任取三个数码皆可构成三角形

对于每个，b可取个值

则数码组个数为.

对于每组，b有4种占位方式.

于是，这种n有个.

ii.数码组为型，据构成三角形条件，有.

如下表，共得16个数码组，对于每组，有4种占位方式.

于是，这种n有个.

的取值	1	2	3	4	5	6	7	8	9
中的个数	0	1	2	3	4	3	2	1	0

iii.数码组为型，据构成三角形条件，有.

同上得16个数码组，对于每组，两个有种占位方式.

则这种n有个.

以上共计144+64+96=304个.

3.当数码组恰含三个值.

i.数码组为型，据构成三角形条件，则有.

这种有14组，每组中有种占位方式.

于是，这种n有个.

ii.数码组为型，.

此条件等价于中取3个不同的数构成三角形的方法数.

有34组，每组中有种占位方式.

于是，这种n有个.

iii.数码组为型，，同情况ii，有个n值.

以上共计168+408+408=984个.

4. 互不相同，则有.

这种有16组，每组有种排法.

共得个n值.

综上，全部四位三角形数n的个数为9+304+984+384=1681（个）