Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n=

an-1

can-1+1

(c为常数，n∈N*，n≥2)．又a1，a2，a5成公比不为1的等比数列．
（Ⅰ）求证{

1

an

}为等差数列，并求c的值；
（Ⅱ）设{bn}：b1=

2

3

，bn=an-1an+1(n≥2，n∈N*)，Sn为{bn}的前n项和．求

lim

n→∞

Sn．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得 a_n≠0，化简条件可得

1

an

-

1

an-1

=c，可得{

1

an

}为等差数列，由等差数列的定义求出{

1

an

}的通项公式，由 a₂²=a₁a₅ 解得c的值．
（Ⅱ）先求出{b_n}的通项公式为bn=

1

(2n-3)(2n+1)

 (n≥2)，用裂项法求出{b_n}的前n项和s_n，从而求得

lim

n→∞

Sn的值．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得 a_n≠0．否则，若存在a_n=0（n＞1）．由递增式必有a_n-1=0，从而导致a₁=0，这与a₁=1矛盾．
∴

1

an

-

1

an-1

= c，故{

1

an

}是以c为公差，

1

a1

=1为首项的等差数列．
故

1

an

= 1+(n-1)c，∴an=

1

1+(n-1)c

．
从而 a2=

1

1+c

，a5=

1

1+4c

，由 a₂²=a₁a₅ 解得 c=2或c=0．当c=0时，a₁=a₂=a₅，舍去．故取 c=2．
（Ⅱ）a_n=

1

2n-1

，故对{bn}：b1=

2

3

，bn=

1

(2n-3)(2n+1)

(n≥2)，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，当n≥2时，Sn=

2

3

+

1

4

[(1-

1

5

)+(

1

3

-

1

7

)+(

1

5

-

1

9

)+(

1

7

-

1

11

)+…+(

1

2n-5

-

1

2n-1

)+(

1

2n-3

)-

1

2n+1

]=

2

3

+

1

4

(1+

1

3

-

1

2n-1

-

1

2n+1

)=1-

1

4

(

1

2n-1

+

1

2n+1

)=

2

3

+

1

4

（1+

1

3

-

1

2n-1

-

1

2n+1

）=1-

1

4

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）．
故

lim

n→∞

Sn=1-

1

4

lim

n→∞

(

1

2n-1

+

1

2n+1

)=1．

点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，求等差数列的通项公式，用裂项法对数列进行求和，求数列的极限，求出S_n的值，是解题的难点，属于难题．