Question

某公司生产A、B两类产品，每类产品均有一般品和优等品两种，某月的产量如下表：

	A	B
优等品	100	x
一般品	300	400

按分层抽样的方法在该月生产的产品中抽取50个，其中A类20个．
（Ⅰ）求x的值；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在B类中抽取一个容量为6个的样本，从样本中任意取2个，求至少有一个优等品的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由每个个体被抽到的概率都相等，可得

20

100+300

=

50

100+300+x+400

，由此求得x的值．
（Ⅱ）先求出抽出的产品中，优等品为 2个，一般品为4个，求出没有优等品的概率，再用1减去此概率，即得所求．

解答：解：（Ⅰ）由每个个体被抽到的概率都相等，可得

20

100+300

=

50

100+300+x+400

，
解得x=200． …（4分）
（Ⅱ）抽取容量为6的样本，由于优等品所占的比例为

200

200+400

=

1

3

，一般品所占的比例为

400

200+400

=

2

3

，
则抽出的产品中，优等品为 6×

1

3

=2个，一般品为6×

2

3

=4个．
从样本中任意取2个，所有的取法种数为

C

2 6

=15，其中没有优等品的取法种数为

C

2 4

=6，
故没有优等品的概率为

6

15

=

2

5

，
所以至少有一个优等品的概率是 1-

2

5

=

3

5

．  …（12分）

点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，
一个事件的概率与它的对立事件的概率间的关系，属于基础题．