Question

16．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}+ax，x＞0}\\{0，x=0}\\{{e}^{-x}-ax，x＜0}\end{array}\right.$，若函数f（x）有5个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\frac{1}{e}$）
• B． （-∞，-e）
• C． （e，+∞）
• D． （$\frac{1}{e}$，+∞）

Answer 1

分析 先判断函数为偶函数，则要求函数f（x）有5个零点，只要求出当x＞0时，f（x）有2个零点即可，分别y=e^x与y=-ax的图象，利用导数的几何意义即可求出．

解答 解：∵f（-x）=f（x），
∴函数f（x）为偶函数，
∵当x=0，f（x）=0时，
∴要求函数f（x）有5个零点，
只要求出当x＞0时，f（x）有2个零点即可，
分别y=e^x与y=-ax的图象，如图所示，
设直线y=-ax与y=e^x相切，
切点为（x₀，y₀），
∴y′=e^x，
∴k=${e}^{{x}_{0}}$=$\frac{{e}^{{x}_{0}}}{{x}_{0}}$，
∴x₀=1
∴-a=e，
∵当x＞0时，f（x）有2个零点即可．
∴-a＞e，
∴a＜-e，
故选：B

点评 本题考查了函数零点的问题，以及函数的奇偶性，以及导数的几何意义，属于中档题．