Question

如图,已知PA与圆O相切于点A,经过点O的割线PBC交圆O于点B,C,∠APC的平分线分别交AB,AC于点D,E.

(1)证明:∠ADE=∠AED.

(2)若AC=AP,求的值.

Answer 1

【解析】(1)∵PA是切线,AB是弦,∴∠BAP=∠C.

又∵∠APD=∠CPE,∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE.

∵∠ADE=∠BAP+∠APD,∠AED=∠C+∠CPE,

∴∠ADE=∠AED.

(2)由(1)知∠C=∠BAP,

又∵∠APC=∠BPA,

∴△APC∽△BPA,∴=.

∵AC=AP,∴∠APC=∠C=∠BAP.

由三角形内角和定理可知,∠APC+∠C+∠CAP=180°.

∵BC是圆O的直径,∴∠BAC=90°,∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,

∴∠C=30°,∴=,∴=.