题目内容
选修4-1：几何证明选讲如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于B、C两点，∠APC的平分线分别交AB、AC于点D、E．
（I）证明：AD=AE；
（II）已知∠C=30°，求
| PC | PA |
分析：（I）由PA与圆O相切于点A，AB是弦，知∠PAB=∠C，由∠APD=∠CPE，知∠PAB+∠APD=∠C+∠CPE，由此能够证明AD=AE．
（II）由∠PAB=∠C=30°，∠APC=∠BPA，知△APC∽△BPA，故
=
．由BC是圆O的直径，知∠BAC=90°，由此能求出
的值．
（II）由∠PAB=∠C=30°，∠APC=∠BPA，知△APC∽△BPA，故
| PC |
| PA |
| CA |
| AB |
| PC |
| PA |
解答：（I）证明：PA与圆O相切于点A，AB是弦，
∴∠PAB=∠C，
又∵∠APD=∠CPE，
∴∠PAB+∠APD=∠C+∠CPE，
∵∠ADE=∠PAB+∠APD，
∠AED=∠C+∠CPE，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE．
（II）解：由（I）知∠PAB=∠C=30°，
∵∠APC=∠BPA，
△APC∽△BPA，
∴
=
．
∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．
在Rt△ABC中，C=30°，
=
=
=
，
∴
=
=
．
∴∠PAB=∠C，
又∵∠APD=∠CPE，
∴∠PAB+∠APD=∠C+∠CPE，
∵∠ADE=∠PAB+∠APD，
∠AED=∠C+∠CPE，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE．
（II）解：由（I）知∠PAB=∠C=30°，
∵∠APC=∠BPA，
△APC∽△BPA，
∴
| PC |
| PA |
| CA |
| AB |
∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．
在Rt△ABC中，C=30°，
| CA |
| AB |
| 1 |
| tanC |
| 1 |
| tan30° |
| 3 |
∴
| PC |
| PA |
| CA |
| AB |
| 3 |
点评：本题考查与圆有关的比例线段的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意弦切角定理的合理运用．
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