Question

设a为实数，函数f（x）=，x∈[，2]．
（1）若a=1，求函数f（x）的值域；
（2）记函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）．

Answer 1

【答案】分析：（1）求导函数，确定f（x）在[，2]上是增函数，即可求函数f（x）的值域；
（2）分类讨论，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的最小值g（a）．
解答：解：（1）a=1，求导函数可得
∵x∈[，2]，
∴f（x）在[，2]上是增函数，
∴f（x）的值域为[]；
（2），x∈[，2]，
①时，x³-a≥0，f′（x）≥0，∴f（x）在[，2]上是增函数，
∴；
②当时，函数在[]上，f′（x）＜0，∴f（x）在[]上是减函数，在[]上，f′（x）＞0，∴f（x）在[]上是增函数，
∴g（a）==；
③当a≥8时，f′（x）≤0，∴f（x）在[]上是减函数，∴g（a）=f（2）=
∴g（a）=．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数单调单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．