Question

【题目】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．

（1）求的普通方程；

（2）设为圆上任意一点，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（）；（2）．

【解析】

（1）消元法消去参数得的普通方程，同理表示的普通方程，最后将其消去整理后可得答案；

（2）由椭圆的参数方程表示其上任意点的坐标，由两点间的距离公式表示，再由三角函数求的值域确定最大值，最后开方即可.

解法一：（1）消去参数得的普通方程为，

消去参数得的普通方程为．

联立消去得，

所以的普通方程为（）．

（2）依题意，圆心的坐标为，半径．

由（1）可知，的参数方程为（为参数，且），

设（），则

，

当时，取得最大值，

又，当且仅当三点共线，且在线段上时，等号成立．

所以．

解法二：（1）消去参数得的普通方程为，

消去参数得的普通方程为．

由得

故的轨迹的参数方程为（为参数），

所以的普通方程为（）．

（2）同解法一．