Question

【题目】已知函数.

（1）函数，讨论的单调性；

（2）函数（）的图象在点处的切线为，证明：有且只有两个点使得直线与函数的图象也相切.

Answer 1

【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析.

【解析】

（1）先对求导，然后对a分类讨论，求出单调区间即可；

（2）设（），可求出直线的方程为：，假设直线与的图象也相切，切点为，所以直线的方程也可以写作为：，又因为斜率相等可得，即，由此可得，令（），然后结合零点存在性定理证明即可.

（1）（），所以，

①当即时：在上单调递增；

②当即时：令有：，

所以：在单调递减，在上单调递增；

（2）设（），

，所以：，

所以直线的方程为：，即：，①

假设直线与的图象也相切，切点为，

因为，所以：，

所以直线的方程也可以写作为：，

又因为，即：，

所以直线的方程为：，即：，②

由①②有：，即：，

令（），

所以，

令，得：，

所以：在上单调递减，在上单调递增，

所以：，

又因为：当时，；当时，，

所以：在有且只有两个实数根，

所以有且只有两个点使得直线与函数的图象也相切.