Question

【题目】已知函数

（1）当x∈[0，π]时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(参考数据：sin1≈0.84)

（2）当a=1时，数列{an}满足：0<an<1，=f(an)，求证：{an}是递减数列.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

求导，，分，， 三种情况讨论求解.

（2）要证{an}是递减数列.即证，由a=1，构造函数，用导数法证明即可.

因为，所以，

设，

当时，即时，因为，

所以，而，所以

即f(x)≥0恒成立，

当时，，

所以在[0，π]上递增，而，

所以，所以在[0，π]上递增，

即成立，

当时，，

所以在[0，π]上递增，

而，

所以存在，有，

当时，，递减，

当时，，递增，

所以当时，取得最小值，最小值为，

而，不成立

综上：实数a的取值范围.

（2）因为a=1，所以，

令，

所以，设

所以，

所以在上递增，

而，

所以存在，，

当时，，递减，

当时，，递增，

而，

所以，

即当时，，

而，，

所以{an}是递减数列.