题目内容
已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列
（1）若sinC=2sinA，求cosB的值；
（2）求角B的最大值．并判断此时△ABC的形状．
（1）若sinC=2sinA，求cosB的值；
（2）求角B的最大值．并判断此时△ABC的形状．
（1）sinC=2sinA利用正弦定理化简得：c=2a，
∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac=2a2，即b=
a，
∴cosB=
=
=
；
（2）∵b2=ac，
∴cosB=
=
≥
=
，
∵函数y=cosx在区间[0，π]上为减函数，
∴B∈（0，
]，即角B的最大值为
，
此时有a=c，且b2=ac，可得a=b=c，
则△ABC为等边三角形．
∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac=2a2，即b=
| 2 |
∴cosB=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| a2+4a2-2a2 |
| 4a2 |
| 3 |
| 4 |
（2）∵b2=ac，
∴cosB=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| a2+c2-ac |
| 2ac |
| 2ac-ac |
| 2ac |
| 1 |
| 2 |
∵函数y=cosx在区间[0，π]上为减函数，
∴B∈（0，
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
此时有a=c，且b2=ac，可得a=b=c，
则△ABC为等边三角形．
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