题目内容

在数列{an}中，a1=2，an+1=an+2n+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）设数列{an}满足bn=2log2（an+1-n），证明：（1+
1
b1
）（1+
1
b2
）（1+
1
b3
）…（1+
1
bn
）＞
n+1
对一切n∈N*恒成立．
分析：（1）先对关系式an+1=an+2n+1整理可得到数列{an-2n}为等差数列，进而可求出数列{an-2n}的通项公式，即可得到数列{an}的通项公式．
（2）根据（1）中的数列{an}的通项公式可得到bn的表达式，然后代入到（1+
1
b1
）（1+
1
b2
）（1+
1
b3
）…（1+
1
bn
）中，利用数学归纳法来进行证明．
解答：解：（1）（an+1-2n+1）-（an-2n）=an+1-an-2n=1
故数列{an-2n}为等差数列，且公差d=1．
an-2n=（a1-2）+（n-1）d=n-1，an=2n+n-1；
（2）由（1）可知an=2n+n-1，∴bn=2log2（an+1-n）=2n
（1+
1
b1
）（1+
1
b2
）（1+
1
b3
）…（1+
1
bn
）
=（1+
1
2
）（1+
1
4
）…（1+
1
2n
）＞
n+1

（1）当n=1时，（1+
1
2
）=
3
2
＞
1+1
=
2
，不等式成立，
（2）假设n=k（k≥1）时不等式成立，
即（1+
1
2
）（1+
1
4
）（1+
1
2k
）＞
k+1
，
那么当n=k+1时，
（1+
1
2
）（1+
1
4
）（1+
1
2k
）（1+
1
2(k+1)
）
＞（1+
1
2(k+1)
）=
2k+3
2
k+1
=
k+
3
2
k+1

=
(k+
3
2
)2
k+1
=
k2+3k+
9
4
k+1
＞
k2+3k+2
k+1

=
(k+1)(k+2)
k+1
=
k+2
=
(k+1)+1

这说明，当n=k+1时不等式也成立
综上可知，对于Vn∈N*，原不等式均成立．
点评：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野．
练习册系列答案
相关题目
在数列{an}中，
a
 
1
=1，an=
1
2
an-1+1（n≥2），则数列{an}的通项公式为an=
2-21-n
2-21-n
．
在数列{an}中，a 1=
1
3
，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
1
an
（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{
an
n
}的前n项和为Tn，证明：
1
3
≤Tn＜
3
4
．
在数列{an}中，a=
12
，前n项和Sn=n2an，求an+1．
在数列{an}中,a1=a,前n项和Sn构成公比为q的等比数列,________________.

(先在横线上填上一个结论,然后再解答)

在数列{an}中，a，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}的前n项和为Tn，证明：．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网