Question

【题目】已知函数（其中）．

（1）当时，判断零点的个数k；

（2）在（1）的条件下，记这些零点分别为，求证： ．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，根据零点列表分析导函数符号，进而确定函数单调性，再根据零点存在定理确定函数零点个数，（2）先根据零点条件化简得，令则，利用导数研究函数单调性，根据单调性得，即证得结论.

试题解析：（1）由题知x＞0， ，

所以，由得，

当x＞时， ， 为增函数；当0<x<时， ， 为减函数，

所以，

而，

所以当时， 零点的个数为2．

（2）由（1）知的两个零点为，不妨设，

于是且

两式相减得（*）， 令，

则将代入（*）得，进而，

所以，

下面证明，其中，

即证明，设，

则，令，则，

所以为增函数，即为增函数，

故，所以为减函数，

于是，即．

所以有，从而．