Question

设f（x）=|2-x²|，若0＜a＜b且f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（　　）

Answer 1

分析：根据f（x）=|2-x²|，结合f（a）=f（b），得f（a）=2-a²且f（b）=b²-2，所以a²+b²=4，且0＜a＜

2

＜b．令a=2cosα，b=2sinα，得a+b=2

2

sin（α+

π

4

），并且

π

4

＜α＜

π

2

，结合正弦函数的图象与性质，可得a+b的取值范围．

解答：解：∵f（x）=|2-x²|，0＜a＜b且f（a）=f（b），
∴0＜a＜

2

＜b，且f（a）=2-a²，f（b）=b²-2，
因此，2-a²=b²-2，得a²+b²=4
令a=2cosα，b=2sinα，
因为0＜a＜

2

＜b，所以

π

4

＜α＜

π

2

则a+b=2cosα+2sinα=2

2

sin（α+

π

4

）
∵

π

2

＜α+

π

4

＜

3π

4

，
∴sin（α+

π

4

）∈（

2

2

，1），得2

2

sin（α+

π

4

）∈（2，2

2

）
即a+b的取值范围是（2，2

2

）
故选D

点评：本题以含有绝对值的二次函数为载体，考查了函数图象的对称性、三角换元法求函数值域和不等式恒成立等知识，属于基础題．