Question

椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m-k为定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题目给出的离心率及a+b=3，结合条件a²=b²+c²列式求出a，b，则椭圆方程可求；
（2）设出直线方程，和椭圆方程联立后解出P点坐标，两直线方程联立解出M点坐标，由D，P，N三点共线解出N点坐标，
由两点求斜率得到MN的斜率m，代入2m-k化简整理即可得到2m-k为定值．
解答：（1）解：因为，所以，即a²=4b²，a=2b．
又a+b=3，得a=2，b=1．
所以椭圆C的方程为；
（2）证明：因为B（2，0），P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为．
联立，得（4k²+1）x²-16k²x+16k²-4=0．
所以，．
则．
所以P（）．
又直线AD的方程为．
联立，解得M（）．
由三点D（0，1），P（），N（x，0）共线，
得，所以N（）．
所以MN的斜率为=．
则．
所以2m-k为定值．
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了二次方程中根与系数关系，考查了由两点求斜率的公式，是中高档题．