Question

【题目】设 A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是函数f（x）=x﹣ 的图象上任意两点，若 M为 A，B的中点，且 M的横坐标为1．
（1）求y1+y2；
（2）若Tn= ，n∈N* ， 求 Tn；
（3）已知数列{an}的通项公式an= （n≥1，n∈N*），数列{an}的前n项和为Sn ， 若不等式2nSn＜m2n﹣4Tn+5对任意n∈N*恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知点M为线段AB的中点，则：x1+x2=2，

∴

（2）解：由（1），当x1+x2=2时，有f（x1）+f（x2）=2，

故

由Tn= ，

Tn= ，

2Tn= = ×2n×2=2n，

∴Tn=n

（3）解：由已知：Sn=1+ ，

= +…+ ， ，

∴Sn=3﹣ ．

不等式2nSn＜m2n﹣4Tn+5即32n﹣（n+3）＜m2n﹣4n+5，

也即（m﹣3）2n＞3n﹣8，即m﹣3＞ 恒成立，

故只需 ．

令bn= ，

当n≥2时，bn﹣bn﹣1= ，

当n≤4时，bn﹣bn﹣1＞0，当n≥5时，bn﹣bn﹣1＜0，

故b1＜b2＜b3＜b4； b4＞b5＞b6＞

故（bn）max=b4= ，

∴m﹣3＞ ，解得：m＞

【解析】（1）利用中点坐标公式即可得出；（2）由（1），当x1+x2=2时，有f（x1）+f（x2）=2，利用此结论可得Tn ． （3）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出Sn ． 不等式2nSn＜m2n﹣4Tn+5，即m﹣3＞ 恒成立，故只需 ．令bn= ，研究其单调性即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．