Question

【题目】已知数列中， ， ， ．数列的前n项和为，满足， ．

（1）求数列的通项公式；

（2）数列能否为等差数列？若能，求其通项公式；若不能，试说明理由；

（3）若数列是各项均为正整数的递增数列，设，则当， ， 和， ， 均成等差数列时，求正整数， ， 的值．

Answer 1

【答案】（1）， ． （2），或．

（3）存在， ， 或， ， 满足条件．

【解析】试题分析：

(1)利用递推公式构造新数列为等比数列可求得数列的通项公式为.

(2)假设数列可以是等差数列，分类讨论可得，或.

(3)由题意讨论r,s,t的关系，构造函数，

结合函数的性质讨论可得存在， ， 或， ， 满足条件．

试题解析：

（1）由，得，

又，所以是首项为3，公比为2的等比数列，

则，故， ．

（2）由，得，

两式相减得，即．①

若是等差数列，设公差为，则，

因为，所以．

又，即，

解得，或．

当时， ，满足条件；

当时， ，也满足条件．

故，或．

（3）由是各项均为正整数的递增数列，得②，

故， ，

故由①式可得，所以．

又由①式可知是偶数，所以．

代入①式得，所以是等差数列．

由（2）知， ，

所以．

若 ，由正整数，知， ．

当时，

．

因此要式成立，只能有．

由式得，

即．

又， ，所以，

显然是方程的解．

当时，设函数，

则，

故在上是增函数，所以方程仅有两解．

因此，存在， ， 或， ， 满足条件．