题目内容
（2012•浦东新区一模）世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地，如图点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x，x∈[10，20]．（1）试用x表示S，并求S的取值范围；
（2）设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为
| 37k | ||
|
| 12k | ||
|
分析：（1）根据题意，分析可得，欲求健身场地占地面积，只须求出图中矩形的面积即可，再结合矩形的面积计算公式求出它们的面积即得，最后再根据二次函数的性质得出其范围；
（2）对于（1）所列不等式，考虑到其中两项之积为定值，可利用基本不等式求它的最大值，从而解决问题．
（2）对于（1）所列不等式，考虑到其中两项之积为定值，可利用基本不等式求它的最大值，从而解决问题．
解答：解：（1）在Rt△PMC中，显然|MC|=30-x，∠PCM=60°
∴|PM|=|MC|tan∠PCM=
（30-x），…2分
矩形AMPN的面积S=|PM||MC|=
x（30-x），x∈[10，20]…4分
于是200
≤S≤225
为所求．…6分
（2）矩形AMPN健身场地造价T1=37k
…7分
又△ABC的面积为450
，即草坪造价T2=
(450
-S）…8分
由总造价T=T1+T2，∴T=25k（
+
），200
≤S≤225
．…10分
∴T=25k（
+
），200
≤S≤225
∵
+
≥12
，…11分
当且仅当
=
即S=216
时等号成立，…12分
此时
x（30-x）=216
，解得x=12或x=18，
所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低．…14分．
∴|PM|=|MC|tan∠PCM=
| 3 |
矩形AMPN的面积S=|PM||MC|=
| 3 |
于是200
| 3 |
| 3 |
（2）矩形AMPN健身场地造价T1=37k
| S |
又△ABC的面积为450
| 3 |
| 12k | ||
|
| 3 |
由总造价T=T1+T2，∴T=25k（
| S |
216
| ||
|
| 3 |
| 3 |
∴T=25k（
| S |
216
| ||
|
| 3 |
| 3 |
∵
| S |
216
| ||
|
6
|
当且仅当
| S |
216
| ||
|
| 3 |
此时
| 3 |
| 3 |
所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低．…14分．
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、基本不等式的应用、矩形的面积等基础知识，属于基础题．
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